Пределы для самостоятельного решения



  • В этой статье введем определение предела, познакомимся с различными видами неопределенностей и способами их устранения. Рассмотрим также большое количество примеров с объяснениями.

    Предел функции по Коши. Значение A называется пределом функции f(x) в точке x_0, если для любого наперед взятого положительного числа \varepsilon найдется отвечающее ему положительное число \delta = \delta (\varepsilon) такое, что для всех аргументов x, удовлетворяющих условию 0<|x-x_0|< \delta, выполнялось равенство |f(x)-A|< \varepsilon.

        \[\lim_{x\to x_0} f(x)=A \iff \forall \varepsilon >0 & \exists \delta = \delta (\varepsilon) >0 \forall x: 0<|x-x_0|< \delta \Rightarrow |f(x)-A|< \varepsilon\]

    Число x_0 из этого определения будем называть предельным значением x. Вычисление любого предела необходимо начинать с подстановки предельного значения в имеющееся выражение. При этом можно получить либо некоторое число (а также бесконечность), либо какую-то неопределенность. В случае получения числа или бесконечности сразу переходим к записи ответа — это самые простые задачи.

    Примеры 1-5. Найти следующие пределы:

        \[\lim_{x\to 5} \left ( \frac{x^2 + x}{5} \right )\]

    Решение:   Подставляем предельное значение x=5.

        \[\lim_{x\to 5} \left ( \frac{x^2 + x}{5} \right ) = \frac{5^2+5}{5} = \frac{25+5}{5} = 6\]

    Ответ:   6

        \[\lim_{x\to 0} \left ( \frac{1}{x^2} \right )\]

    Решение:   Подставляем предельное значение x=0.

        \[\lim_{x\to 0} \left ( \frac{1}{x^2} \right ) = \frac{1}{0} = \infty\]

    Ответ:   \infty

        \[\lim_{x\to \infty} \left ( 1-x \right )\]

    Решение:   Подставляем предельное значение x=\infty.

        \[\lim_{x\to \infty} \left ( 15-x \right ) = 15- \infty =- \infty\]

    Ответ:   - \infty

        \[\lim_{x\to 0} \left ( \frac{x^4}{7} \right )\]

    Решение:   Подставляем предельное значение x=0.

        \[\lim_{x\to 0} \left ( \frac{x^4}{7} \right ) = \frac{0}{7}=0\]

    Ответ:   0

        \[\lim_{x\to \infty} {\left ( \frac{5}{2} \right )}^x\]

    Решение:   Подставляем предельное значение x=\infty.

        \[\lim_{x\to \infty} {\left ( \frac{5}{2} \right )}^x = {\left ( \frac{5}{2} \right )}^{\infty}=\infty\]

    Такой ответ получаем в связи с тем, что основание степени \frac{5}{2} больше единицы. Если бы основание было меньше единицы, например \frac{2}{5}, то предел бы равнялся нулю.

    Ответ:   \infty

    [свернуть]

    Как видно, для решения этих пяти примеров нам не потребовалось применение каких-то особых приемов. Однако чаще всего так просто справиться с пределом не получится. Далее будет рассматривать случаи, когда при подстановке предельного значения x=x_0 получаются неопределенности вида \left ( \frac{0}{0} \right ), \left ( \frac{\infty}{\infty} \right ), \left ( \infty - \infty \right ).

    Неопределенность вида   \frac{0}{0}

    Чтобы раскрыть неопределенность \frac{0}{0} в алгебраическом выражении, надо в числителе и знаменателе выделить множитель x-x_0, который стремится к нулю, и на него под знаком предела сократить.

    Очевидно, что если при подстановке в многочлен предельного значения x=x_0 этот многочлен обращается в 0, то x_0 является его корнем. А это значит, что данный многочлен без остатка можно разделить на x-x_0.

    Пример 6. Вычислить предел

        \[\lim_{x\to 6} \frac{2x^2-11x-6}{3x^2-19x+6}\]

    Решение:   Подставляем предельное значение x=6.

        \[\lim_{x\to 6} \frac{2x^2-11x-6}{3x^2-19x+6} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

    Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. Найдем корни многочленов из числителя и знаменателя (решаем два квадратных уравнения).

    2x^2-11x-6=0

    D=b^2-4ac=121+48=169

    x_1 = \frac{11+13}{4} = 6;     x_2 = \frac{11-13}{4} = -\frac{1}{2}

    3x^2-19x+6

    D=b^2-4ac=361-72=289

    x_1 = \frac{19+17}{6} = 6;     x_2 = \frac{19-17}{6} = \frac{1}{3}

    Тогда данные многочлены будут разложены на множители следующим образом:

    2x^2-11x-6 = 2(x-6)(x+ \frac{1}{2})   и   3x^2-19x+6=3(x-6)(x- \frac{1}{3}).

    Переписываем предел, используя полученные разложения, и сокращаем числитель и знаменатель на x-6:

        \[\lim_{x\to 6} \frac{ 2(x-6)(x+ \frac{1}{2})}{3(x-6)(x- \frac{1}{3})} = \lim_{x\to 6} \frac{ 2(x+ \frac{1}{2})}{3(x- \frac{1}{3})} = \lim_{x\to 6} \frac{ 2x+1}{3x- 1}\]

    Теперь снова подставляем предельное значение x=6:

        \[\lim_{x\to 6} \frac{ 2x+1}{3x- 1} = \frac{2 \cdot 6 +1}{3 \cdot 6 -1} = \frac{13}{17}\]

    Ответ:   \frac{13}{17}

    [свернуть]

    Пример 7. Вычислить предел

        \[\lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{4-x^2}\]

    Решение:   Подставляем предельное значение x=2.

        \[\lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{4-x^2} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

    Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. Необходимо выделить из числителя и знаменателя множитель x-2. Для этого достаточно заметить, что числитель представляет собой разность кубов, а знаменатель — разность квадратов. То есть

    x^3 -8= (x-2)(x^2+2x+4)   и   4-x^2=(2-x)(2+x).

    Переписываем предел, используя полученные разложения, и сокращаем числитель и знаменатель на x-2:

        \[\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(2-x)(2+x)} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(-2-x)} = \lim_{x\to 2} \frac{x^2+2x+4}{-2-x}\]

    Теперь снова подставляем предельное значение x=2:

        \[\lim_{x\to 2} \frac{x^2+2x+4}{-2-x} = \frac{2^2+2 \cdot 2 +4}{-2-2} = \frac{12}{-4} = -3\]

    Ответ:   -3

    [свернуть]

    Не всегда можно разложить на множители многочлен так, как это сделано в 6м и 7м примерах. Если он имеет степень больше двух (и сгруппировать не удаётся), следует разделить его столбиком на x-x_0. Это долго, но действенно — ответ гарантирован, главное не просчитаться 🙂

    Пример 8. Вычислить предел

        \[\lim_{x\to 2} \frac{x^3 -2x^2-x+2}{x^4-x^2-12}\]

    Решение:   Подставляем предельное значение x=2.

        \[\lim_{x\to 2} \frac{x^3 -2x^2-x+2}{x^4-x^2-12} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

    Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. Разделим столбиком числитель и знаменатель на x-2:

    Для предела столбиком

    В обоих случаях остаток при делении равен нулю, всё хорошо (если остаток получился НЕ ноль, проверяйте решение, ищите ошибку!). Многочлены будут расписаны на множители следующим образом:

    x^3-2x^2-x+2 = (x-2)(x^2-1)     и     x^4-x^2-12 = (x-2)(x^3+2x^2+3x+6).

    Переписываем предел, используя полученные разложения, и сокращаем числитель и знаменатель на x-2:

        \[\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x^2-1)}{(x-2)(x^3+2x^2+3x+6)} =\lim_{x\to 2} \frac{x^2-1}{x^3+2x^2+3x+6}\]

    Теперь снова подставляем предельное значение x=2:

        \[\lim_{x\to 2} \frac{x^2-1}{x^3+2x^2+3x+6} = \frac{2^2-1}{2^3+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2 +6} = \frac{4-1}{8+8+6+6} = \frac{3}{28}\]

    Ответ:   \frac{3}{28}

    [свернуть]

    Пример 9. Вычислить предел

        \[\lim_{x\to -1} \frac{x^3 +4x^2+5x+2}{x^3-3x-2}\]

    Решение:   И вновь первым делом подставляем предельное значение x=-1

        \[\lim_{x\to -1} \frac{x^3 +4x^2+5x+2}{x^3-3x-2} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

    Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. Разделим столбиком числитель и знаменатель на x+1:

    Для предела столбиком 2

    Тогда многочлены будут разложены на множители так:

    x^3+4x^2+5x+2 = (x+1)(x^2+3x+2)     и     x^3-3x-2 = (x+1)(x^2-x-2).

    Переписываем предел с данными преобразованиями, производим сокращение и подставляем предельное значение x=-1:

        \[\lim_{x\to -1} \frac{(x+1)(x^2+3x+2)}{(x+1)(x^2-x-2)} = \lim_{x\to -1} \frac{x^2+3x+2}{x^2-x-2} = \frac{(-1)^2 +3 \cdot (-1) +2}{(-1)^2 - (-1) -2} = \frac{1-3+2}{1+1-2} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

    Получили ту же самую неопределенность. Поэтому опять выделяем из числителя и знаменателя множитель x+1 и производим на него сокращение. Для этого решаем два квадратных уравнения.

    x^2+3x+2 = 0

    D=b^2-4ac = 9-8=1

    x_1 = \frac{-3-1}{2} = -2;     x_2 = \frac{-3+1}{2} = -1

    x^2-x-2 = 0

    D=b^2-4ac = 1+8=9

    x_1 = \frac{1-3}{2} = -1;     x_2 = \frac{1+3}{2} = 2

    Отсюда можем записать, что  x^2-x-2 = (x+1)(x-2),  а  x^2+3x+2 = (x+1)(x+2). Дальше работаем с пределом:

        \[\lim_{x\to -1} \frac{x^2+3x+2}{x^2-x-2} = \lim_{x\to -1} \frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-2)} = \lim_{x\to -1} \frac{x+2}{x-2} = \frac{-1+2}{-1-2} = -\frac{1}{3}\]

    Ответ:   -\frac{1}{3}

    [свернуть]

    В 9м примере оказалось недостаточным произвести одно сокращение. Так бывает в тех случаях, когда предельное значение x=x_0 является для многочленов корнем кратности больше единицы (в нашем случае  x=-1  имел кратность 2).

    Пусть теперь вместо многочлена в числителе или знаменателе будет иррациональное выражение.

    Если в числителе или знаменателе стоят иррациональные выражения, то для получения сомножителя  x-x_0  умножим числитель и знаменатель на сопряженные им выражения.

    Пример 10. Вычислить предел

        \[\lim_{x\to 5} \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}}\]

    Решение:   Подставляем предельное значение  x=5.

        \[\lim_{x\to 5} \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

    Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. И в числителе, и в знаменателе стоят иррациональные выражения, поэтому будем делить и умножать на сопряженное к каждому. При этом понятно, что если была сумма, то сопряженное — разность, и если была разность, то сопряженное — сумма. То есть сопряженное к числителю \sqrt{6-x}+1, к знаменателю 3+\sqrt{4+x}.

        \[\lim_{x\to 5} \frac{\sqrt{6-x}-1}{3-\sqrt{4+x}} = \lim_{x\to 5} \frac{(\sqrt{6-x}-1)(\sqrt{6-x}+1)(3+\sqrt{4+x})}{(3-\sqrt{4+x})(\sqrt{6-x}+1)(3+\sqrt{4+x})} =\]

        \[=\lim_{x\to 5} \frac{ \left ( {\left ( \sqrt{6-x} \right ) }^2 -1^2 \right ) (3+\sqrt{4+x})}{(\sqrt{6-x}+1) \left ( 3^2 - {\left ( \sqrt{4+x} \right ) }^2 \right )} = \lim_{x\to 5} \frac{(5-x)(3+\sqrt{4+x})}{(\sqrt{6-x}+1)(5-x)} = \lim_{x\to 5} \frac{3+\sqrt{4+x}}{\sqrt{6-x}+1}\]

    После умножения и деления на сопряженное, использовали формулу разности квадратов. Теперь осталось лишь еще раз подставить предельное значение  x=5:

        \[\lim_{x\to 5} \frac{3+\sqrt{4+x}}{\sqrt{6-x}+1} = \frac{3+\sqrt{4+5}}{\sqrt{6-5}+1} = \frac{3+3}{1+1} = \frac{6}{2} = 3\]

    Ответ:   3

    [свернуть]

    Пример 11. Вычислить предел

        \[\lim_{x\to -5} \frac{2x^2+11x+5}{3-\sqrt{14+x}}\]

    Решение:   При подстановке предельного значения x=-5 получаем неопределенность  \frac{0}{0}. Здесь  в числителе алгебраическое выражение, а в знаменателе иррациональное. Поэтому для избавления от неопределенности следует выделить из числителя множитель x+5 и умножить и разделить на сопряженное к знаменателю.

    Итак, разбиваем на множители числитель. Это квадратный многочлен, поэтому удобно будет просто решить квадратное уравнение.

    2x^2+11x+5=0

    D=b^2-4ac = 121 - 40= 81

    x_1 = \frac{-11-9}{4} = -5;     x_2 = \frac{-11+9}{4} \ = -\frac{1}{2}

    И, получаем,   2x^2+11x+5=2(x+5)(x+\frac{1}{2}) = (x+5)(2x+1).

        \[\lim_{x\to -5} \frac{2x^2+11x+5}{3-\sqrt{14+x}} = \lim_{x\to -5} \frac{(x+5)(2x+1)(3+\sqrt{14+x})}{(3-\sqrt{14+x})(3+\sqrt{14+x})} = \lim_{x\to -5} \frac{(x+5)(2x+1)(3+\sqrt{14+x})}{3^2 - {\left ( \sqrt{14+x} \right ) }^2} =\]

        \[\lim_{x\to -5} \frac{(x+5)(2x+1)(3+\sqrt{14+x})}{9-14-x} = \lim_{x\to -5} \frac{(x+5)(2x+1)(3+\sqrt{14+x})}{-(5+x)} =\]

        \[= \lim_{x\to -5} \frac{(2x+1)(3+\sqrt{14+x})}{-1} = \lim_{x\to -5} (-2x-1)(3+\sqrt{14+x}) =\]

        \[ = (-2 \cdot (-5) -1)(3+\sqrt{14-5}) = (10-1)(3+3)= 54\]

    Ответ:   54

    [свернуть]

    Неопределенность вида   \frac{\infty}{\infty}

    Если при  x \to x_0  f(x) \to \infty  и  q(x) \to \infty,  то отношение  \frac{f(x)}{q(x)}  представляет собой неопределенность  \frac{\infty}{\infty}. В этом случае нужно числитель и знаменатель разделить почленно на старшую степень переменной x.

    Пример 12. Вычислить предел

        \[\lim_{x\to \infty} \frac{4x-7-2x^3}{7x+x^3}\]

    Решение:   При подстановке предельного значения x получаем неопределенность вида \frac{\infty}{\infty}. И в числителе, и в знаменателе старшая степень x равна 3, то есть будем делить на x^3

        \[\lim_{x\to \infty} \frac{4x-7-2x^3}{7x+x^3} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{4x-7-2x^3}{x^3}}{\frac{7x+x^3}{x^3}} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{4}{x^2} - \frac{7}{x^3} -2}{\frac{7}{x^2} +1} =\]

        \[= \frac{0-0-2}{0+1} = -2\]

    Ответ:   -2

    [свернуть]

    Пример 13. Вычислить предел

        \[\lim_{x\to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^3+x^2+4x}\]

    Решение:   При подстановке предельного значения x получаем неопределенность вида \frac{\infty}{\infty}. Определяем старшую степень x: в числителе 2, в знаменателе 3. Выбираем наибольшую, то есть делить будем на x^3.

        \[\lim_{x\to \infty} \frac{2x^2-3x+1}{3x^3+x^2+4x} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{2x^2-3x+1}{x^3}}{\frac{3x^3+x^2+4x}{x^3}} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}} =\]

        \[= \frac{0-0+0}{3+0+0} = \frac{0}{3} = 0\]

    Ответ:   0

    Вообще, можно для себя запомнить так: если старшая степень x в числителе больше старшей степени в знаменателе, то предел равен \infty (плюс или минус); если же старшая степень в числителе меньше, чем в знаменателе, то предел равен нулю.

    [свернуть]

    Пример 14. Вычислить предел

        \[\lim_{x\to \infty} \frac{(x+7)^3 - (x-1)^3}{(3x-1)^2 - (5x+1)^2} = \left ( \frac{\infty}{\infty} \right )\]

    Решение:  Предельное значение уже подставлено, неопределенность есть. В этом примере нужен некоторый навык для того, чтобы сразу назвать старшую степень x. Мы, чтобы не ошибиться, раскроем скобки, пользуясь формулами куба суммы/разности 🙂

        \[\lim_{x\to \infty} \frac{(x+7)^3 - (x-1)^3}{(3x-1)^2 - (5x+1)^2} = \lim_{x\to \infty} \frac{(x^3+21x^2+147x + 343) - (x^3-3x^2+3x-1)}{(9x^2-6x+1) - (25x^2+10x+1)} =\]

        \[= \lim_{x\to \infty} \frac{24x^2+144x+344}{-16x^2-16x}\]

    Теперь старшая степень видна хорошо, равна двум (и в числителе, и в знаменателе). Делим:

        \[= \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{24x^2+144x+344}{x^2}}{\frac{-16x^2-16x}{x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{24+\frac{144}{x} + \frac{344}{x^2}}{-16- \frac{16}{x}} =\]

        \[= \frac{24+0+0}{-16-0} = -\frac{24}{16} = - \frac{3}{2}\]

    Ответ:   -\frac{3}{2}

    [свернуть]

    Неопределенность вида  \infty - \infty

    Если при  x \to x_0,  f(x) \to + \infty  и  q(x) \to + \infty,  то разность  f(x)-q(x)  представляет собой неопределенность  \infty - \infty.  Чтобы раскрыть такую неопределенность, надо привести пределы для самостоятельного решения её к виду  \frac{0}{0}  или  \frac{\infty}{\infty}.

    Сделать это можно разными способами. Действия будут зависеть от того, предел какого именно выражения нам необходимо найти. Например, если имеется разность двух иррациональных выражений, то стоит умножить и разделить на сопряженное.

    Пример 15. Вычислить предел

        \[\lim_{x\to + \infty} \left ( \sqrt{4x-3} - \sqrt{2x+1} \right )\]

    Решение:  При подстановке предельного значения x= + \infty получаем неопределенность вида \infty - \infty. Умножим и разделим на сопряженное выражение \left ( \sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1} \right ). Получим:

        \[\lim_{x\to + \infty} \left ( \sqrt{4x-3} - \sqrt{2x+1} \right ) = \lim_{x\to + \infty} \frac{ \left ( \sqrt{4x-3} - \sqrt{2x+1} \right ) \left ( \sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1} \right )}{ \sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1}} =\]

    В числителе применяем формулу разности квадратов:

        \[= \lim_{x\to + \infty} \frac{\left ( {\sqrt{4x-3} \right )}^2 - \left ( {\sqrt{2x+1} \right )}^2}{\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1}} = \lim_{x\to + \infty} \frac{2x-4}{\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1}} = \left ( \frac{\infty}{\infty} \right )\]

    С этой неопределенностью мы уже работали. Делим числитель и знаменатель на старшую степень x. В числителе это один, в знаменателе \frac{1}{2}. Один больше одной второй, поэтому делим на x:

        \[\lim_{x\to + \infty} \frac{2x-4}{\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1}} = \lim_{x\to + \infty} \frac{\frac{2x-4}{x}}{\frac{\sqrt{4x-3} + \sqrt{2x+1}}{x}} =\]

        \[= \lim_{x\to + \infty} \frac{2- \frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{4x-3}}{x} + \frac{\sqrt{2x+1}}{x}}= \lim_{x\to + \infty} \frac{2- \frac{4}{x}}{ \sqrt{ \frac{4x-3}{x^2} } + \sqrt{ \frac{2x+1}{x^2} }} =\]

        \[= \lim_{x\to + \infty} \frac{2- \frac{4}{x}}{ \sqrt{ \frac{4}{x} - \frac{3}{x^2} } + \sqrt{ \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} }} = \frac{2}{0} = \infty\]

    Ответ:   \infty

    [свернуть]

    Иногда удобно будет применять такое преобразование:

        \[\lim_{x\to x_0} \left ( f(x) - g(x) \right ) = \left ( \infty - \infty \right ) = \lim_{x \to x_0} \left ( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} - \frac{1}{\frac{1}{g(x)}} \right ) = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)} \cdot \frac{1}{f(x)}} = \left ( \frac{0}{0} \right )\]

    На этом всё. Удачи! 😉


    .


    Поделись с друзьями



    Рекомендуем посмотреть ещё:


    Закрыть ... [X]

    Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений - Роутер zyxel keenetic lite iii настройка пошаговая

    Пределы для самостоятельного решения Пределы для самостоятельного решения Пределы для самостоятельного решения Пределы для самостоятельного решения Пределы для самостоятельного решения Пределы для самостоятельного решения Пределы для самостоятельного решения Пределы для самостоятельного решения

    ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ